Секция про кружки

На плоскости расположено 11 шестеренок, соединенных по цепочке. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно?

Конь вышел с поля $a1$ и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.

Может ли конь пройти с поля $a1$ на поле $h8$, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?

Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломанной, пересекать все её звенья?

На хоккейном поле лежат три шайбы, $A$, $B$ и $C$. Хоккеист бьет по одной из них так, что она пролетает между двумя другими. Так он делает 25 раз. Могут ли после этого шайбы оказаться на исходных местах?

Катя и её друзья встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого ребенка - одного пола. Мальчиков среди Катиных друзей пять. А сколько девочек?

Ленинградские Математические Кружки. Разбиение на пары

Можно ли нарисовать $9$-звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?

Можно ли доску размером $5 \times 5$ заполнить доминошками размером $1 \times 2$?

Дан осесимметричный выпуклый $101$-угольник. Докажите, что ось симметрии проходит через одну из его вершин. Что можно сказать в случае $10$-угольника?

Все костяшки домино выложили в цепь. На одном конце оказалось $5$ очков. Сколько очков на другом конце?

Из набора домино выбросили все кости с “пустышками” Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд?

Можно ли выпуклый $13$-угольник разрезать на параллелограммы?

На доске $25 \times 25$ расставлены $25$ шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали.

Задача 8

Допустим теперь, что расположение шашек в задаче $13$ симметрично относительно обеих главных диагоналей. Докажите, что одна из шашек стоит в центральной клетке.

Задача 9

В каждой клетке квадратной таблицы размером $25 \times 25$ записано одно из чисел $1, 2, 3, \dots, 25$. При этом, во-первых, в клетках, симметричных относительно главной диагонали, записаны равные числа, и во-вторых, ни в какой строке и ни в каком столбце нет двух равных чисел. Докажите, что числа на главной диагонали попарно различны

Ленинградские Математические Кружки. Четность

Можно ли разменять $25$ рублей при помощи десяти купюр достоинством в $1, 3$ и $5$ рублей?

Петя купил общую тетрадь объемом $96$ листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от $1$ до $192$. Вася вырвал из этой тетради $25$ листов и сложил все $50$ чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться $1990$?

Произведение $22$ целых чисел равно $1$. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Можно ли составить магический квадрат из первых $36$ простых чисел?

В ряд выписаны числа от $1$ до $10$. Можно ли расставить между ними знаки "$+$" и "$-$", чтобы значение полученного выражения было равно нулю?

Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгнул на $1$ см в какую-то сторону, во второй раз - на $2$ см и так далее. Докажите, что после $1985$ прыжков он не может оказаться там, где начинал.

На доске написаны числа $1, 2, 3, \dots , 1984, 1985$. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

Ещё можно у задач поменять номера, чтобы подсказать детям, что в этом листочке самая последняя задача - самая простая.

МЦНМО. Начинай с конца!

По кругу расставлены несколько нулей и несколько единиц - всего $13$ чисел. Некто каждый час вписывает между каждыми соседними числами $0$, если они равны, и $1$, если не равны, а старые числа стирает. Через сколько часов все числа наверняка станут одинаковы?

Три игрока нашли корзинку с пирожками. Первый игрок быстро съел $4$ пирожка, а половину оставшихся прикарманил. Видя такое, второй игрок быстро съел $20$ пирожков и забрал себе половину тех, что остались. Третий после этого съел половину остатка и прихватил последние два пирожка с собой? Сколько пирожков было в корзинке сначала?

В некотором изолированном сегменте сети сражаются вирус и антивирус. Размножаться они не умеют, они попросту убивают друг друга. В понедельник каждый антивирус убил ровно по одному вирусу. Во вторник каждый выживший вирус убил ровно по одному антивирусу. В среду опять каждый антивирус убил по одному вирусу. А в четверг - каждый вирус убил по одному антивирусу. Таким образом продолжалось всю неделю. И в воскресенье последним живым антивирусом был убит последний вирус! Сколько же вирусов было в самом начале?

Полина задумала целое число, умножила его на $13$, зачеркнула последнюю цифру результата, полученное число умножила на $7$, потом опять зачеркнула последнюю цифру и получила число $24$. Какое число задумала Полина?

У кракозябр крайне странный жизненный цикл. Наблюдатель заметил, что сначала было сколько то кракозябр, а потом каждая из них родила по две новые кракозябры. В этом году была холодная зима, поэтому $5$ не дожили до следующей весны, но те, что дожили, родили ещё по одной кракозябре. До следующей весны не дожили ещё $5$, но все, что дожили родили ещё по две кракозябры. Из всех них, только одна куда-то потерялась, а наблюдатель решил их пересчитать и понял, что кракозябр уже набралось на целое поселение, а именно их стало $80$ штук. Сколько кракозябр было в самом начале?

Малый Мехмат — школе. Обратный ход

а) Ваня задумал число, умножил его на $2$, прибавил $3$ и получил $17$. Какое число задумал Ваня? б) На этот раз Гоша задумал число. Потом прибавил к нему $5$, разделил на $3$, умножил на $4$, отнял $6$, разделил на $7$ и получил $2$. Какое число задумано?

Женщина собрала в саду яблоки. Чтобы выйти из сада, ей пришлось пройти через четыре двери, каждую из которых охранял свирепый стражник, отбиравший половину яблок. Домой она принесла $10$ яблок. Сколько яблок досталось стражникам?

В парке посадили в ряд аллею деревьев. Через год между любыми двумя соседними деревьями посадили ещё по одному. Ещё через год проделали то же самое. Стало $1197$ деревьев. Сколько их было изначально?

Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет и отдал их второму, потом второй проиграл первому половину своих монет, затем опять первый проиграл половину монет. В результате у первого оказалось $15$ монет, а у второго $33$. Сколько монет было у каждого из пиратов перед началом игры?

На озере расцвела одна лилия. Каждый день количество цветов на озере удваивалось, и на $20$-й день все озеро покрылось цветами. На какой день озеро покрылось цветами наполовину?

С числами можно выполнять следующие операции: умножать на два или произвольным образом переставлять цифры (нельзя только ставить нуль на первое место). Можно ли с помощью таких операций из $1$ получить $74$?

Все натуральные числа от $1$ до $1000$ записали в следующем порядке: сначала были выписаны в порядке возрастания числа, сумма цифр которых равна 1, затем, также в порядке возрастания, числа с суммой цифр $2$, потом — числа, сумма цифр которых равна $3$ и т.д. На каком месте оказалось число $996$?

Задача 8

На Малом Мехмате в комнату $12$-$04$ всем заходившим туда детям давали шоколадки. Первому зашедшему дали одну шоколадку и десятую часть всех оставшихся, второму зашедшему дали две шоколадки и десятую часть оставшихся, . . . , девятому зашедшему дали девять шоколадок и десятую часть оставшихся. После этого прибежал Гоша, но, к сожалению, шоколадки уже закончились. Сколько шоколадок получили дети?

Задача 9

Реши уравнение $\,2 \cdot (0{,}2 - 0{,}02 : (0{,}002 + 0{,}0002x)) = 0{,}3$.

Границы и между ними

На прямой отметили $9$ синих точек, а после этого между каждыми двумя соседними синими точками добавили по красной. Сколько красных точек добавили?

На прямой отметили $10$ синих точек, между каждыми двумя соседними добавили по красной точке. А после этого между каждыми синей и красной, которые оказались соседями, добавили по зеленой точке. Сколько всего точек оказалось отмеченными?

а) Сколько раз придётся распилить бревно длинной $5$ м, если хочется получить поленья длиной $50$ см. б) А чтобы разрезать три таких бревна на такие же поленья?

Сколько разрезов надо сделать, чтобы золотая цепочка из $7$ звеньев разбилась на такие кусочки, что ими можно было бы отдать любое число звеньев за раз?

Если собрать большой квадрат $10 \times 10$ из маленьких квадратов, то сколько границ клеточек окажется внутри?

В квадрате $10 \times 10$ закрасили все клетки, у которых хотя бы одна сторона смотрит наружу. Сколько всего клеток оказалось окрашено?