Маша сказала, что ее старший брат Саша съел самое меньшее $12$ конфет, но сам Саша утверждает, что он съел не больше $13$. Известно, что Саша съел в два раза больше конфет, чем Маша, и что они оба всегда говорят правду. Сколько конфет съел Саша?

Планета 55Е в системе Рака, называемая также Крэбби, населена рыцарями и лжецами (рыцари никогда не лгут, а лжецы никогда не говорят правду). Кроме них, на этой планете живут странные и необычные животные. Однажды рыцарь Тао с планеты Крэбби сказал: «Все трехголовые животные на нашей планете очень умные». Исходя из слов Тао, определите, верны ли следующие утверждения.
- «У всех умных животных на планете Крэбби три головы»
- «Если животное с планеты Крэбби глупое, у него точно не три головы»
- «Если животное не трехголовое, оно не умное»

Во время путешествия по острову рыцарей и лжецов вы встречаете двух живущих на острове братьев – Ивана и Петра. Иван говорит вам, что хотя бы один из них – лжец. Кто Иван и Петр – рыцари или лжецы?

Тридцать детей пришли на праздник. Среди каждых $12$ из них есть хотя бы один мальчик. Среди каждых $20$ из них есть хотя бы одна девочка. Сколько мальчиков и сколько девочек на празднике?

На острове рыцарей и лжецов вы оказались в комнате, где находятся несколько человек. Каждый из них говорит вам, что в этой комнате есть лжецы. Что происходит на самом деле? Сколько в комнате рыцарей и сколько лжецов? (Не забывайте, что в комнате могут быть и туристы. Туристы иногда говорят правду, а иногда лгут.)

У Ивана-Царевича есть ковер-самолет размерами $5 \times 8$ метров. Во время битвы со Змеем Горынычем полоска вдоль длинного края ковра полностью сгорела. Сгоревшая полоска – это прямоугольник $1 \times 4$ метра:

(см рисунок)

Ковры-самолеты должны иметь прямоугольную форму, иначе они теряют устойчивость. Поэтому Иван-Царевич попросил Василису Премудрую отрезать от поврежденной стороны оставшуюся полоску $1 \times 4$ метра, чтобы ковер снова стал прямоугольным. Но Василиса Премудрая занимается в математическом кружке, поэтому она поступила иначе: разрезала ковер на три прямоугольные части и сшила их так, что получился квадратный ковер $6 \times 6$ метров. Как она это сделала?

На острове рыцарей и лжецов есть две деревни. В одной из них живут только рыцари, а в другой – только лжецы. Жители этих деревень часто ходят друг к другу в гости. На днях островная газета объявила конкурс: надо придумать один-единственный вопрос (требующий ответа «да» или «нет»), с помощью которого любой турист может определить, находится ли он в деревне рыцарей или в деревне лжецов. Вопрос должен быть таким, чтобы его можно было задать первому встречному. Заранее неизвестно, кто этот первый встречный – рыцарь это или лжец. Неизвестно также, живет ли он в этой деревне или пришел в гости. Дима, занимающийся в математическом кружке, выиграл конкурс. Какой вопрос он предложил?

Маша и Даша живут на острове рыцарей и лжецов. Одна из них – лжец, а другая – рыцарь. Маша утверждает, что $2$ рубина дороже, чем $3$ сапфира. Даша говорит, что $3$ рубина дороже, чем $4$ сапфира. Верно ли, что $12$ рубинов дороже, чем $18$ сапфиров?

Антон, Боря, Витя и Гриша живут на острове рыцарей и лжецов. Антон утверждает, что Боря – лжец. Гриша говорит, что Антон – лжец. Витя заявляет, что Антон и Боря – два лжеца. Витя также говорит, что и Гриша – лжец. Кто на самом деле рыцари и кто лжецы? Обоснуйте ответ.

Тридевятое царство состоит из нескольких областей. Там есть несколько политических партий. Однажды за ужином собралась компания политиков из Тридевятого царства. Известно, что среди них есть жители разных областей и члены разных партий. Докажите, что в этой компании найдутся два политика, которые живут в разных областях и состоят в разных партиях.