Волшебник Шмерлин пригласил в гости несколько ведьм. Он идет в волшебный магазин за угощением – сушеными лягушками. Все приглашенные должны получить одинаковое количество лягушек, и Шмерлин не хочет, чтобы после ухода гостей лягушки оставались у него в доме. Какое наименьшее количество лягушек надо купить Шмерлину в следующих случаях?
$(a)$ Придет либо $3$ ведьмы, либо $5$ ведьм.
$(b)$ Придет либо $4$ ведьмы, либо $6$ ведьм.

$(a)$ У золотоискателя Джека есть семь золотых самородков. Первый самородок стоит один доллар, второй – два доллара, третий – три доллара и так далее. Собираясь в деревенскую лавку за продуктами, Джек положил в карман только три самородка. Он знает, что сможет расплатиться ими за любую покупку, которая стоит целое число долларов от $1$ до $7$. Какие три самородка в кармане у Джека?
$(b)$ Теперь у Джека есть пятнадцать самородков, которые стоят $1$, $2$, $3$, ... $15$ долларов. Какие четыре самородка ему надо взять с собой, чтобы он мог заплатить любое целое число долларов от $1$ до $15$?

Замените все звездочки цифрами от $0$ до $9$ так, чтобы получились верные равенства.

$(a)$ Три мешочка наполнены золотым песком. Как расположить их в порядке возрастания веса (от самого легкого до самого тяжелого) за три взвешивания на чашечных весах без гирь?
$(b)$ Четыре мешочка наполнены золотым песком. Как расположить их в порядке уменьшения веса за пять взвешиваний на чашечных весах без гирь?

На столе лежат две золотые, две серебряные и две бронзовые монеты. В каждой паре одна из монет фальшивая: она легче настоящей. Все настоящие монеты весят одинаково, и все фальшивые тоже весят одинаково. Как определить все три фальшивые монеты за два взвешивания на чашечных весах без гирь?