Разрежьте каждую фигуру на рисунке на четыре одинаковые фигуры. Резать можно только по линиям сетки и по диагоналям клеток.

Галеон «Фортуна» потерпел крушение и затонул на обратном пути из Пуреи – колонии Инпасии. Корабль отправился в свое последнее плавание с тремя сундуками на борту: в одном были только золотые монеты, в другом – только серебряные, в третьем – и золотые, и серебряные. Недавно остатки галеона были обнаружены, и в его трюме действительно нашлись три сундука с сокровищами. На крышке каждого сундука была надпись. Эти надписи гласили: «Золото», «Серебро», «Золото и серебро». Сундуки передали в музей, где вы работаете, и назначили дату публичной церемонии их открытия. Вы – знаток истории, и вам известно, что в те времена в Пурее была традиция: надписи на сундуках никогда не соответствовали их содержимому. (Считалось, что это помогает запутать темные силы и отвести беду.) Чтобы на церемонии не произошел конфуз, необходимо заранее знать, что находится в каждом сундуке. Вы пообещали директору музея установить это, взглянув только на одну монету из одного сундука по вашему выбору. Как вы поступите?

Перечислите все делители числа 36. Сколько их?

Приведите пример числа, у которого ровно 10 делителей.

$(a)$ Можно ли найти четыре последовательных числа, ни одно из которых не делится на $4$? Приведите пример таких чисел или докажите, что их не существует.
$(b)$ Можно ли найти пять последовательных чисел, ни одно из которых не делится на $5$?

На острове рыцарей и лжецов живут мистер $X$, мистер $Y$ и леди $Z$.
$(a)$ Мистер $X$ говорит, что если два целых числа делится на $7$, то и их разность обязательно делится на $7$. Кто мистер $X$ – рыцарь или лжец? Обоснуйте ответ.
$(b)$ Мистер $Y$ говорит, что если разность двух целых чисел делится на $7$, то и каждое из этих чисел обязательно делится на $7$. Кто мистер $Y$ – рыцарь или лжец? Обоснуйте ответ.
$(c)$ Леди $Z$ утверждает, что если два целых числа делится на третье целое число $(C)$, то и их разность обязательно делится на $C$. Кто леди $Z$ – рыцарь или лжец? Обоснуйте ответ.

Начнем с наблюдения. Разделим все целые числа на две группы: точные квадраты ($1$, $4$, $9$, $16$, $25$, ...) и все остальные целые числа ($2$, $3$, $5$, $6$, $7$, ...). Оказывается, что у каждого числа из первой группы нечетное количество делителей. Например, у числа $1$ только один делитель, у числа $4$ – три, а у числа $16$ – пять. Если же подсчитать делители любого числа из второй группы, обязательно получится четное число. Например, у числа $7$ два делителя, у числа $6$ – четыре, а у числа $12$ – шесть. Теперь можно сформулировать задачу. Докажите, что у любого точного квадрата нечетное количество делителей, а у любого другого целого числа четное количество делителей.

Гномик родился в $1122$ году. На каждый день рождения он получает в подарок от бабушки драгоценный камень: алмаз или рубин. Если возраст гномика – делитель номера нынешнего года, бабушка дарит ему алмаз. Если это не так, она дарит гномику рубин. Гномик получил алмаз, когда ему исполнился один год (поскольку 1123 делится на 1), затем на свое двухлетие ($1124$ делится на $2$) и трехлетие ($1125$ делится на $3$). Но, например, в пять и в семь лет он получил рубин ($1127$ не делится на $5$, а $1129$ не делится на $7$). В каком возрасте гномик получит на день рождения свой последний алмаз? Гномики и их бабушки живут много тысяч лет.

В Стране сладостей есть монеты трех видов: сугрики, тугрики и шмоллары. Сугрик – самая мелкая монета: каждая из остальных монет (тугрик и шмоллар) равна целому числу сугриков. На воскресной ярмарке в Стране сладостей волшебный леденец на палочке стоит $11$ сугриков. У Стаса было $4$ сугрика, $1$ тугрик и $9$ шмолларов. Он купила несколько волшебных леденцов, и у него не осталось денег. У Тараса есть $15$ сугриков, $12$ тугриков и $9$ шмолларов. Докажите, что он тоже может потратить все свои деньги на волшебные леденцы.

Две горные деревни, Белвью и Хилвью, соединены дорогой. На этой дороге нет горизонтальных участков: она везде либо поднимается, либо опускается. За $6$ часов автобус доезжает от одной деревни до другой и возвращается обратно. На подъеме он едет со скоростью $50$ километров в час, а на спуске – со скоростью $100$ километров в час. Найдите расстояние между деревнями.