Как разделить круглую пиццу на $4$, $5$, $6$ и $7$ частей тремя прямыми разрезами? Каждый разрез должен начинаться и заканчиваться на наружном крае пиццы.

Юный хакер Вася перепрограммировал лифт в $100$-этажном здании Института создания и решения проблем. Теперь в лифте работают только две кнопки: одна отправляет его на $8$ этажей вверх, а другая – на $6$ этажей вниз. (Если кнопка посылает лифт выше сотого или ниже первого этажа, он остается на месте.)

$(a)$ Пока Вася работал над кнопками, директор института пил кофе на первом этаже. Сможет ли он вернуться в свой кабинет на $95$-м этаже, пользуясь только лифтом? Если да, то как? Если нет, то почему?

$(b)$ Тот же вопрос, если кабинет директора находится на $96$-м этаже.

Юля возвращается домой из школы. Она выходит на $5$ минут раньше Пети, который живет в том же доме. Петя идет в полтора раза быстрее Юли: он хочет вернуть ей мобильный телефон, который она забыла в школе. Когда Юля получит свой телефон? (Так как Юля и Петя живут далеко от школы, то Петя успеет догнать Юлю прежде чем она дойдёт до дома.)

В Лукоморье живут $9$ счастливых и $9$ несчастных принцесс. Волшебник Шмерлин только что выучил три новых заклинания. С помощью первого он может сделать любых двух несчастных принцесс (по своему выбору) счастливыми. С помощью второго – сделать любых двух счастливых принцесс несчастными. Третье заклинание позволяет ему сделать одну несчастную принцессу счастливой, но одна счастливая принцесса при этом станет несчастной. Шмерлин хочет сделать всех принцесс счастливыми. Докажите, что трех его заклинаний для этого недостаточно.

$(a)$ Как влияет каждое заклинание Шмерлина на количество несчастных принцесс?

$(b)$ Сейчас несчастных принцесс нечетное число. Шмерлин произносит одно из своих заклинаний. Докажите, что количество несчастных принцесс остается нечетным.

$(c)$ Шмерлин произносит несколько заклинаний подряд. Докажите, что количество несчастных принцесс остается нечетным.

$(d)$ Может ли количество несчастных принцесс стать равным нулю? Если да, то как? Если нет, то почему?

На волшебном дереве в центре тридесятого королевства растут волшебные плоды трех видов: яблоки мудрости, груши храбрости и сливы доброты. Время от времени с этого дерева собирают урожай для блага королевства. На месте собранных плодов сразу вырастают новые.
− Если снять с дерева один плод, на его месте вырастает плод того же вида.
− Если одновременно снять $2$ яблока, вырастают $4$ груши.
− Если одновременно снять $2$ груши, вырастают $4$ сливы.
− Если одновременно снять $2$ сливы, вырастают $4$ яблока.
− Если одновременно снять $2$ плода разных видов, ничего не вырастает.
Сейчас на дереве $11$ яблок, $10$ груш и $8$ слив. Злая колдунья хочет лишить королевство силы, украв все волшебные плоды. Она собирается каждое утро забираться на дерево и срывать с него один или два плода. Может ли она оставить дерево без плодов? Если да, то как? Если нет, то почему?

В те дни, когда Робин-Бобин-Барабек ходит в школу, он съедает по два пирога на каждой перемене. В прошлом году, Робина побывал в школе на $499$-и уроках и съел $798$ пирога. Сколько дней в прошлом году Робин провел в школе? (Количество уроков может меняться день ото дня. Например, может быть день с одним уроком, а может быть день с 7ю уроками).

Коля выложил в ряд полный набор домино ($28$ костяшек) по правилам игры в домино
(см. ниже). На левой половинке самой левой костяшки $6$ точек. Сколько точек на правой половинке самой правой костяшки?

Справка. Костяшка домино – это прямоугольная плитка, разделенная на два квадратика. На каждом квадратике отмечено несколько точек – от $0$ до $6$. Полный набор состоит из $28$ костяшек со всеми возможными сочетаниями точек: $[0-0], [0-1], [0-2], [0-3], [0-4], [0-5], [0-6], [1-1], [1-2], ... [6-6]$. Если половинки разных костяшек соприкасаются, по правилам игры на этих половинках должно быть одинаковое количество точек.