Это страница для печати листка. Все изменения, внесенные здесь, не изменят шаблон листка — они только изменят его перед печатью. То есть, если вы измените здесь текст или название, это не изменится навсегда, а только для этой печати.
Тонкое место
Задача 1
Расставьте числа от $1$ до $9$ по кругу так, чтобы какие бы три числа подряд вы не взяли — их сумма будет делиться на $3$.
Задача 2
Сколькими способами число $15$ можно представить в виде суммы а) двух; б) трех разных целых положительных слагаемых.
(Число $3$, например, можно представить в виде суммы двух слагаемых только одним способом. Вариант $3=2+1$ мы будем считать таким же как $3=1+2$.)
Задача 3
Сколькими способами можно разрезать доску, показанную на рисунке, на прямоугольники из двух клеток так, чтобы в каждой была ровно одна закрашенная клетка?
Указание. Попробуйте найти такие две клетки про которые вы точно можете сказать, что они должны быть в одном прямоугольнике.
Задача 4
На рисунке изображено минное поле. Из $36$ клеток $9$ заминированные, а остальные свободны от мин. Все числа на рисунке вписаны в свободные от мин квадраты и показывают, сколько у них заминированных соседей (соседними считаем клетки, примыкающие по вертикали, горизонтали и диагонали). Где мины?
Задача 5
Арман составил из первых $9$ чисел магический квадрат $3×3$ (т. е. так расставил эти числа в таблице $3×3$, что сумма по каждой строке, по каждому столбцу и по обеим диагоналям одна и та же).
а) Чему может быть равна эта сумма?
б) Какое число может стоять в центре такого квадрата? в) Приведите пример такого магического квадрата.
Задача 6
Как расставить в ряд числа от $1$ до $100$ так, чтобы соседние числа отличались или на $2$, или в $2$ раза?
Задача 7
В некоторой системе, куда переселились люди, есть $2021$ планета. Расстояние между любыми двумя планетами разное'. На каждой планете поселился астроном и решил смотреть на ближайшую планету, а) Могло ли такое случится, что нет двух астрономов смотрящих на планеты друг друга? б) А есть ли астроном на планету которого никто не смотрит?
("Т.е. если взять любые другие две планеты, или заменить хотя бы одну из них на другую - расстояние будет другим)
Задача 8
Прямоугольник составлен из шести квадратов. Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького равна $1$.
Задача 9
По кругу выписаны $10$ чисел. При этом известно, что каждое из чисел в кругу равно среднему арифметическому двух соседних?
Докажите, что все числа равны.
(Чтобы найти среднее арифметическое двух чисел нужно их сложить и разделить на $2$. Полученное число будет ровно "посередине" между ними)