В здании музея странностей $18$ этажей. В лифте этого здания всего две кнопки. При нажатии первой кнопки лифт поднимается на $9$ этажей вверх, а при нажатии второй – опускается на $7$ этажей вниз. (Если лифт должен оказаться выше $18$-го или ниже первого этажа, он остается на месте.)
$(a)$ Администратор здания находится на втором этаже. Сможет ли он с помощью лифта попасть на первый этаж? Если да, то как? Если нет, то почему?
$(b)$ Сможет ли он попасть с первого этажа на второй?
$(c)$ Новая уборщица Мария Петровна собирается помыть полы на всех этажах, куда она сможет добраться на лифте. Сможет ли она помыть полы на всех этажах здания, если начнет с первого?

Вася с родителями едет из Москвы в Бабушкинск, где живет его бабушка. В субботу семья села на поезд, а через день – в понедельник – приехала в Бабушкинск. По дороге Вася сделал несколько наблюдений. В понедельник он заметил, что число месяца совпадает с номером вагона. Еще он обратил внимание на то, что номер его места меньше номера вагона. Когда Васина семья садилась в поезд, число месяца было больше номера вагона. Определите номер вагона и номер места Васи.

В зоопарке есть пруд, где растут кувшинки. Первого июня в пруду появилась первая кувшинка. С тех пор количество кувшинок каждый день увеличивалось в два раза. $15$ июня кувшинками покрылась вся поверхность пруда. Если бы первого июня вместо одной кувшинки появилось две, какого числа пруд был бы полностью покрыт кувшинками?

В стране драконов живут трехглавые и пятиглавые драконы. Однажды в магазин головных уборов зашли $20$ драконов. Они заказали себе огненные шляпы – по одной на каждую голову. Хозяин магазина считает, что ему надо изготовить $77$ огненных шляп. Докажите, что он ошибся в вычислениях.

Пятиклассник Денис пришел в гости к своей подруге Тане, которая живет на самом верхнем этаже $20$-этажного дома. Он вызвал Таню на соревнование: кто быстрее спустится с верхнего этажа на первый этаж и вернется обратно, если Таня будет ехать на лифте, а Денис – бежать по лестнице? Лифт движется вверх и вниз с одной и той же постоянной скоростью. Денис бежит вниз в два раза быстрее лифта, а вверх – в два раза медленнее лифта. Кто выиграет соревнование?

На столе лежат четыре карточки. На верхней стороне каждой карточки написана буква или цифра: на первой – цифра $4$, на второй – цифра $5$, на третьей – буква А, на четвертой – буква Б. Неизвестно, написано ли что-нибудь на нижних сторонах карточек и что именно. Макс утверждает: «Если на одной стороне карточки написано четное число, на другой ее стороне написана гласная буква». Какое наименьшее количество карточек нужно перевернуть, чтобы проверить, прав ли Макс? Какие карточки надо перевернуть?