Это страница для печати листка. Все изменения, внесенные здесь, не изменят шаблон листка — они только изменят его перед печатью. То есть, если вы измените здесь текст или название, это не изменится навсегда, а только для этой печати.

Задача 1

На пляже острова рыцарей и лжецов отдыхает компания местных жителей. За время их беседы каждый хотя бы один раз сказал остальным: «Вы все – лжецы!» Сколько рыцарей в этой компании?

Задача 2

Разрежьте фигуру, показанную на рисунке, на четыре части одинаковой
формы и одинакового размера.

Задача 3

Известно, что $3$ шалтая, $3$ болтая и $3$ тянитолкая весят столько же, сколько $2$ шалтая, $5$ болтаев и $2$ тянитолкая. Кроме того, тянитолкай тяжелее шалтая. Кто тяжелее: болтай или тянитолкай?

Задача 4

(a) Известно, что из трех монет одна фальшивая. Фальшивая монета
легче настоящей. Определите фальшивую монету за одно взвешивание на чашечных весах.
(b) Та же задача для четырех монет и двух взвешиваний.
(c) Та же задача для пяти монет и двух взвешиваний.
(d) Та же задача для семи монет и двух взвешиваний.
(e) Та же задача для девяти монет и двух взвешиваний.

Задача 5

У золотоискателя Джека есть $9$ килограммов золотого песка и
чашечные весы.
(a) Как Джеку за одно взвешивание отмерить $5$ килограммов золота, если у него
есть одна килограммовая гиря?
(b) Как Джеку за два взвешивания отмерить $3$ килограмма золота, если у него
есть одна килограммовая гиря?
(c) Как Джеку за три взвешивания отмерить 2 килограмма золота, если у него есть
две гири: $200$-граммовая и $50$-граммовая? (Напомним, что в одном килограмме
$1000$ граммов.)

Задача 6

Из четырех монет одна фальшивая. Фальшивая монета отличается по весу от настоящей, но неизвестно, легче она или тяжелее. Как определить фальшивую монету за два взвешивания на чашечных весах?

Задача 7

В здании музея математики $36$ залов, расположенных в виде квадрата $6$х$6$. В каждом зале $4$ двери (по одной в каждой стене), которые ведут в другой зал или на улицу.
(a) Тим собирается начать осмотр музея в юго-западном угловом зале и закончить его в юго-восточном угловом зале. Он планирует побывать в каждом зале ровно один раз и ни разу не выйти на улицу. Сможет ли он это сделать? Нарисуйте маршрут или объясните, почему это невозможно.
(b) Катя собирается начать осмотр музея в юго-западном угловом зале и закончить его в северо-в
осточном угловом зале. Она планирует побывать в каждом зале ровно один раз и ни разу не выйти на улицу. Сможет ли она это сделать? Нарисуйте маршрут или объясните, почему это невозможно.

Задача 8

(a) Из $75$ золотых монет одна фальшивая. Фальшивая монета отличается по весу от настоящей, но неизвестно, легче она или тяжелее. За два взвешивания на чашечных весах определите, какая монета легче – фальшивая или настоящая.
(b) Та же задача для $76$ монет.

Задача 9

В награду за верную службу король раздал трем рыцарям шесть монет: три золотые и три серебряные. Каждый рыцарь получил две монеты. Первый рыцарь знает, какие монеты раздал король и какие получил он сам, но не знает, какие монеты у каждого из остальных. Узнайте, какие монеты у первого рыцаря, задав ему только один вопрос. Вопрос должен быть таким, чтобы на него можно было ответить только «Да», «Нет» или «Не знаю».