Число раскладывается на простые множители так: $2$ × $3$*2 ×$ 7$*3 × $13$. Делится ли это число на $2$? На $4$? На $14$? На $12$?

Два числа раскладываются на простые множители так: $2$*2 × $3$ × $7$*3 × $13$ и $2$ × $3$*2 × $7$*2.
$(a)$ Делится ли первое число на второе?
$(b)$ Делится ли произведение этих чисел на $8$? На $36$? На $27$? На $16$? На $56$?

Пусть $p$ – простое число, большее $2$. Число $p$ – $1$ четное или нечетное? А $p$ + $1$?

Пусть $p$ – простое число, большее $2$.
$(a)$ Докажите, что хотя бы одно из чисел $p$ – $1$ и $p$ + $1$ делится на $4$.
$(b)$ Верно ли, что хотя бы одно из них обязательно делится на $5$?

Мистер $X$ и мистер $Y$ живут на острове рыцарей и лжецов. Определите, кто они, исходя из их утверждений.
Мистер $X$: «Если число делится на $3$ и на $4$, оно обязательно делится на $12$».
Мистер $Y$: «Если число делится на $6$ и на $4$, оно обязательно делится на $24$».

Каждый из двух сундуков заполнен либо золотыми, либо серебряными монетами. На первом сундуке написано: «В этом сундуке золото, а в другом серебро». На втором написано: «В одном из этих сундуков золото, а в другом серебро». Что лежит в каждом сундуке, если известно, что одна из надписей неверна, а другая верна?

Разложите числа на простые множители: $111$, $1111$, $1001$.

Расшифруйте пример: $BAO$ × $BA$ × $B$ = $2002$. (Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы – разные цифры.)
Подсказка: поможет разложение на простые множители одного числа из предыдущей задачи.

У вас есть ножницы и обычный лист бумаги. Вырежьте в этом листе такое отверстие, чтобы в него мог пройти слон.

На острове рыцарей и лжецов был проведен опрос, в котором приняли участие все жители острова. В ходе опроса некоторые жители сказали, что на острове четное число рыцарей. Остальные сказали, что на острове нечетное число лжецов. Докажите, что число всех жителей острова – четное.