Разрежьте треугольник на четыре треугольника меньшего размера так, чтобы любые два из них имели общий участок границы. (Точка не считается общим участком границы: общий участок должен быть отрезком. На рисунке показан пример такого разбиения не на четыре, а на три треугольника: любые два из этих трех треугольников имеют общий участок границы.)

У Макса $20$ шаров трех цветов: красные, белые и черные. Белых шаров у него в шесть раз больше, чем красных, а черных меньше, чем белых. Сколько черных шаров у Макса?

Установите весы в положение равновесия, переместив ровно пять спичек.

Тима едет на автобусе в библиотеку. Из окна автобуса он замечает своего брата Сашу, который пешком идет из библиотеки. Тима решает догнать Сашу. Через одну минуту он выходит из автобуса и начинает бежать за Сашей. Еще через четыре минуты Тима оказывается в том месте, где он увидел Сашу из автобуса. Тима бежит в два раза быстрее, чем идет Саша. Сколько времени придется бежать Тиме, чтобы догнать Сашу?

У слоненка, бегемотика и жирафика спросили, сколько они весят. Вот что они ответили.
− Жирафик : «Я вешу $100$ килограммов».
− Бегемотик: «Я вешу столько же, сколько жирафик и полслоненка».
− Слоненок: «Я вешу столько же, сколько жирафик и бегемотик».
Сколько весит каждый из зверят?

$(a)$ Сколькими способами можно поставить на шахматной доске $8$ × $8$ белую и черную ладью так, чтобы они не били друг друга? (Ладья ходит по горизонтали и по вертикали на любое расстояние).
$(b)$ Решите ту же задачу для случая, когда обе ладьи черные. (Будем считать, что ладьи одного цвета могут бить друг друга.)

В каждой клетке таблицы была написана цифра $1$, $2$, $3$, $4$ или $5$. В каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали каждая цифра встречалась только один раз. Пришла Белла и стерла почти все цифры. Какая цифра была в центральной клетке?

Флаг пиратского корабля имеет форму прямоугольника и состоит из чередующихся черных и белых вертикальных полос одинаковой ширины. Количество полос на флаге равно количеству пленных, которые в данный момент находятся на корабле. На прошлой неделе на корабле было двенадцать пленных, а на флаге – двенадцать полос. Но за выходные двум пленным удалось бежать. Корабельному юнге поручили переделать флаг. Новый флаг должен быть прямоугольным, иметь ту же площадь и состоять из десяти полос той же ширины, что и у исходного флага. Помогите юнге разрезать флаг на две части, из которых можно сшить новый флаг.

У Змея Горыныча $15$ нормальных и $20$ сумасшедших голов. Волшебный меч Ивана-Царевича одним ударом отрубает одну или две головы. Вместо отрубленных голов сразу вырастают новые по таким правилам.
− Если отрублены две одинаковые головы, вместо них вырастает одна сумасшедшая голова.
− Если отрублены две разные головы, вместо них вырастает одна нормальная голова.
− Если отрублена одна голова, вместо нее вырастает точно такая же голова.
Когда у Змея Горыныча остается одна голова, он падает духом и сдается.
$(a)$ В каком порядке нужно отрубать головы, чтобы у Змея Горыныча осталась одна голова? Приведите пример.
$(b)$ Будет ли последняя голова нормальной или сумасшедшей? Объясните, почему ваш ответ верен при любом порядке отрубания голов.

Три брата – Ваня, Даня и Коля – любят блины, которые печет бабушка Фекла. Каждый раз, когда кто-то из братьев приходит в гости к бабушке, он съедает столько блинов, сколько может съесть (всегда одно и то же количество). В понедельник Ваня и Даня пришли к бабушке и съели $25$ блинов. Во вторник Даня и Коля съели $37$ блинов. В среду Коля и Ваня съели $30$ блинов. В воскресенье все три брата собираются в гости к бабушке. Она хочет накормить их досыта, но так, чтобы ни одного блина не осталось (она сама не любит блины). Сколько блинов ей нужно испечь?

Алина и ее мама делают шоколадных Дедов Морозов. Они расплавляют плитки шоколада и заливают его в специальные формы. Из каждой плитки получается один Дед Мороз, причем немного шоколада остается. От трех плиток остается столько же шоколада, сколько содержится в одной плитке. Сколько Дедов Морозов можно сделать из $9$ плиток? А из $14$ плиток?

На гребне крыши в ряд сидят $19$ кошек и $10$ котов. Каждая кошка сидит рядом с котом. Докажите, что каждый кот сидит рядом с кошкой.

У мышки праздник: она нашла кусок сыра в форме куба $3$ × $3$ × $3$ см. Этот куб состоит из $27$ кубиков $1$ × $1$ × $1$ см. Покончив с одним кубиком, мышка переходит к другому кубику, который имеет общую грань с только что съеденным кубиком. Мышка знает, что в центральном кубике спрятан крючок, захлопывающий мышеловку. Может ли она съесть все кубики, в которых нет крючка?