Мальчик и девочка сидят рядом. «Я мальчик!» – говорит темноволосый ребенок. «Я девочка!» – говорит рыжеволосый ребенок. Известно, что хотя бы кто-то из них говорит неправду. Какого цвета волосы у мальчика и какого – у девочки?

Разрежьте равносторонний треугольник (треугольник, у которого все три стороны равны) на три одинаковых треугольника.

На рисунке показана составленная из спичек рюмка, внутри которой лежит вишня. Выньте вишню из рюмки, переместив только одну спичку. Форма рюмки должна остаться той же, но вишня должна находиться вне ее.

Четыре монеты расположены в ряд. Известно, что среди них есть хотя бы одна настоящая, и хотя бы одна фальшивая. Фальшивая монета легче настоящей. Известно также, что все фальшивые монеты лежат слева от всех настоящих. Как определить все фальшивые монеты за одно взвешивание на чашечных весах?

Отец оставил в наследство трем сыновьям $7$ сундуков, полных золота, $7$ сундуков, наполовину заполненных золотом, и $7$ пустых сундуков. Как братьям поделить наследство, чтобы у каждого было одинаковое количество золота и одинаковое количество сундуков? (Перекладывать золото из одного сундука в другой не разрешается.)

В день Хэллоуина две девочки и два мальчика отправились выпрашивать конфеты. Девочек звали Дженни и Синди, а мальчиков – Майкл и Питер. Когда они сравнили свою добычу, оказалось, что Дженни получила больше всех, Синди – не меньше всех, а Питер – больше, чем Майкл. Получили ли девочки больше конфет, чем мальчики?

На небольшом острове живут кролики трех видов: белые, серые и пятнистые. У каждой серой или пятнистой крольчихи всегда рождается два крольчонка: белый и серый. У каждой белой крольчихи всегда рождается три крольчонка: белый, серый и пятнистый. Когда-то давым давно на этом острове не было ни одного кролика, но потом на него попала одна крольчиха, от которой произошли все остальные кролики. Они называют ее Великой бабушкой. Сейчас на острове живут $40$ серых, $40$ белых и $30$ пятнистых кроликов. Ни один кролик не умер и не покинул остров. Какого цвета Великая бабушка?

Царь Дадон обещал награду в $1000$ золотых монет, тому, кто решит трудную шахматную задачу: «Конь стоит в левом нижнем поле шахматной доски $8$ × $8$. Как сделать $11$ ходов этим конем, чтобы после них он оказался на том поле, с которого начал?» (За один ход конь перемещается на два поля по вертикали или горизонтали и затем на одно поле в перпендикулярном направлении.) Объясните, почему никто не получил эту награду.

Электрик Петров смонтировал электропроводку в новом школьном здании. В длинном коридоре он установил $10$ лампочек и $9$ выключателей. От каждого выключателя провода идут к двум лампочкам, как показано на рисунке. При нажатии на каждый выключатель состояние этих двух лампочек изменяется: если лампочка горит, она гаснет, а если не горит – загорается. Когда Петров закончил работу, горела только одна лампочка – крайняя справа. В конце рабочего дня директор школы хочет выключить все лампочки. Сможет ли он это сделать? Если да, то как? Если нет, то почему?

Есть десять мешков с монетами. В одном мешке все монеты фальшивые, а в остальных – все настоящие. Каждая фальшивая монета легче настоящей на один грамм. Имеются чашечные весы со стрелкой, показывающие разницу между двумя грузами в граммах. Как найти фальшивую монету за одно взвешивание? Из каждого мешка можно взять сколько угодно монет.

Саша положил на одну чашу весов головку своего любимого сыра. Маша положила на другую чашу $3$⁄$4$ головки такого же сыра и килограммовую гирю. После этого весы оказались в равновесии. Сколько весит головка сыра? (Мы считаем, что все головки сыра весят одинаково.)

Как достать из колодца ровно $6$ литров воды с помощью только двух ведер – $4$-литрового и $9$-литрового?

Несколько целых чисел расположены по кругу. Известно, что сумма любых двух соседних чисел – нечетная. Докажите, что количество чисел – четное.

В детском велопробеге участвуют мамы с маленькими детьми – всего $36$ человек. Мамы едут на двухколесных велосипедах, а дети – на четырехколесных (с двумя вспомогательными колесиками). Всего у велосипедов $110$ колес. Сколько участвует мам и сколько детей?

$(a)$ Космический аппарат «Марсоход» опустился на Марс и приступил к его исследованию. Каждое утро Марсоход отправляется в путь и за день проходит один километр в одном из двух направлений: на восток или на запад. Из-за ошибки в программе диспетчер с Земли не может передать Марсоходу команду, в каком направлении ему двигаться. Может ли Марсоход через $24$ дня оказаться в трех километрах к востоку от места посадки?
$(b)$ Из-за аварии произошел сбой программы, управляющей движением Марсохода: теперь за день он может перемещаться только на $7$ километров к востоку или на $5$ километров к западу. Может ли Марсоход через $30$ дней после аварии оказаться в трех километрах к востоку от места, где она случилась?

Бусы состоят из $34$ бусинок. Известно, что любые две бусинки, между которыми находятся ровно две бусинки, одного цвета. Докажите, что все бусинки в этих бусах одного цвета.