Все задачи.

Всего найдено задач: 2696.

Задача 1417

Упростить выражение: $\;\displaystyle\left(\cfrac{4}{a + \cfrac{1}{b + 1/c}} : \cfrac{1}{a + \cfrac{1}{b}} - \cfrac{4}{b\, (abc + a + c)}\right)^{\!-1/2}$

Задача 1418

Известно, что выражение $\;\displaystyle\left(\cfrac{t\sqrt{t + 2}}{\sqrt{t - 2}} - \cfrac{2\sqrt{t - 2}}{\sqrt{t + 2}} - \cfrac{4t}{\sqrt{t^{2} - 4}}\right)^{1/2} \!\!: \sqrt[4]{t^{2} - 4}$ корректно определено. Упростить его.

Задача 1446

Известно, что для неизвестных $x$ и $y$ верно уравнение $x = y + y^{2} + \ldots + y^{n} + \ldots$ Оказывается, можно в таком же виде выразить $x$ через $y$ (представить в виде степенного ряда), то есть $$x = ay + by^{2} + cy^{3} + \ldots$$ Найти этот ряд (его коэффициенты $a$, $b$, $c$, ...)

Задача 2485

Можно ли поставить в ряд все натуральные числа от $1$ до $100$ так, чтобы каждые два соседних числа отличались либо на $2$, либо в два раза?

Задача 1420

Упростить выражение: $\;\displaystyle\left(\frac{a - \sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a + \sqrt{a^{2} - b^{2}}} - \frac{a + \sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a - \sqrt{a^{2} - b^{2}}}\right) : \cfrac{4\sqrt{a^{4} - a^{2}b^{2}}}{(5b)^{2}}$.

Задача 1421

Упростить выражение: $\;\displaystyle \left(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 1} - \frac{3x^{\frac{1}{3}} - 1}{x + 1}\right) \cdot \frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} - 1}$.

Задача 1422

Упростить выражение: $\;\displaystyle \left(\frac{2x + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{3x}\right)^{-1}\!\!\! \cdot \,\left(\frac{x^{\frac{3}{2}} - y^{\frac{3}{2}}}{x - x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}} - \frac{x - y}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}\right)$.

Задача 1423

Упростить выражение: $\;\displaystyle \left(\frac{1}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{-2}} - \left(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a^{3}} - \sqrt{b^{3}}}\right)^{\!\!-1}\right) : \sqrt{ab}$.

Задача 1424

Упростить выражение: $\;\displaystyle \, \left(\frac{\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^{2} - 4b}{a - b} - \left(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\right)^{\!\!-1} \right) : \frac{32b\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$.

Задача 1425

Упростить выражение $\;\displaystyle \, \left(\frac{1 - c^{-2}}{c^{\frac{1}{2}} - c^{-\frac{1}{2}}} + \frac{4c^{-\frac{1}{2}}}{c^{3}} + \frac{c^{-2} - c}{c^{\frac{1}{2}} - c^{-\frac{1}{2}}}\right) \cdot \left(1 + \frac{2}{c^{2}}\right)^{\!\!-2}$ и найти его значение при $c = \sqrt{2}$.