Все задачи.

Всего найдено задач: 2696.

Задача 1460

Доказать равенство методом математической индукции: $$\frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \ldots + \frac{1}{(n + 3) \cdot (n + 4)} = \frac{n}{4(n + 4)}.$$

Задача 1461

Доказать равенство методом математической индукции: $$\frac{7}{1 \cdot 8} + \frac{7}{8 \cdot 15} + \frac{7}{15 \cdot 22} + \ldots + \frac{7}{(7n - 6) \cdot (7n + 1)} = 1 - \frac{1}{7n + 1}.$$

Задача 1462

Известно, что $x + \frac1x$ - целое число. Показать, что тогда число $x^n + \frac{1}{x^n}$ - также целое, при любом целом $n$.

Задача 1463

Доказать неравенство методом математической индукции ($\forall n \in \mathbb{N}$): $$\;\displaystyle \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \ldots + \frac{1}{3n + 1} > 1.$$

Задача 1464

Доказать неравенство для натуральных $n > 1$: $\quad\displaystyle \frac{(2n)!}{(n!)^2} > \frac{4^n}{n + 1}$.

Задача 1465

Доказать неравенство $2^n > \frac{765}{543}n$ для натуральных чисел.

Задача 1472

В языке древнего племени алфавит состоит всего из двух букв: «М» и «О». Два слова являются синонимами, если одно из другого можно получить при помощи исключения или добавления буквосочетаний «МО» и «ООММ», повторяемых в любом порядке и любом количестве. Являются ли синонимами в языке древнего племени слова «ОММ» и «МОО»?

Задача 1473

На доске выписаны числа $1, 2, \ldots, 20$. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$ и заменить их на число $ab + a + b$. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

Задача 1474

На острове Серобуромалин живёт 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона разного цвета, они одновременно перекрашиваются в третий цвет. Если все хамелеоны станут одного цвета, наступит конец света. Доказать, что конец света не наступит.

Задача 1475

Поле представляет собой клетчатый квадрат $12 \times 12$, в одной из клеток которого находится замаскированный танк. Истребитель за один выстрел обстреливает одну клетку. Если произошло попадание, танк переползает на соседнюю по стороне клетку поля, если нет - остаётся на месте. При этом после выстрела пилот истребителя не знает, произошло ли попадание. Для уничтожения танка надо попасть в него два раза. Каким наименьшим числом выстрелов можно обойтись для того, чтобы гарантировать, что танк уничтожен?