Все задачи.

Всего найдено задач: 2696.

Задача 1450

$N$ разбойников делят добычу. У каждого из них свое мнение о ценности той или иной доли добычи, и каждый из них хочет получить не меньше, чем $\frac1N$ долю добычи (со своей точки зрения). Придумать алгоритм, как разделить добычу между разбойниками.

Задача 1451

На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Доказать, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.

Задача 1452

Сто медвежат нашли в лесу ягоды: самый младший успел схватить 1 ягоду, медвежонок постарше - 2 ягоды, следующий - 4 ягоды, и так далее, самому старшему досталось $2^{99}$ ягод. Лиса предложила им поделить ягоды «по справедливости». Она может подойти к двум медвежатам и распределить их ягоды поровну между ними, а если при этом возникает лишняя ягода, то лиса её съедает. Такие действия она продолжает до тех пор, пока у всех медвежат не станет ягод поровну. Какое наибольшее количество ягод может съесть лиса?

Задача 1453

Доказать тождество для всех натуральных $n$: $\;1 + 3 + \ldots + (2n - 3) + (2n - 1) = n^{2}$.

Задача 1454

a) Известно, что для величины $S(n) = 1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2}$ (суммы квадратов всех чисел от 1 до $n$) существует выражение в замкнутой форме (то есть, без точек). Угадать, что это за выражение. b) Доказать, что эта формула верна для любого $n$.

Задача 1455

Доказать равенство методом математической индукции: $$\;\displaystyle 1^{2} + 3^{2} + \ldots + (2n - 1)^{2} = \frac{n(2n - 1)(2n + 1)}{3}.$$

Задача 1456

Доказать равенство методом математической индукции: $$\;\displaystyle 1^{3} + 2^{3} + \ldots + n^{3} = (1 + 2 + \ldots + n)^2.$$

Задача 1457

Доказать равенство методом математической индукции: $$\;\displaystyle 1^{3} + 3^{3} + \ldots + (2n - 1)^{3} = n^{2}(2n^{2} - 1).$$

Задача 1458

Доказать тождество методом математической индукции: $$1\cdot2\cdot3 + 2\cdot3\cdot4 + \ldots + n(n + 1)(n + 2) = \frac14 n(n + 1)(n + 2)(n + 3).$$

Задача 1459

Доказать равенство методом математической индукции: $$\;\displaystyle 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots + n \cdot n! = (n + 1)! - 1.$$