Все задачи.

Всего найдено задач: 2696.

Задача 1140

Доказать для положительных чисел неравенство $\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_n}{a_1} \geqslant n$. Используй неравенство между $m = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$ и $g = \sqrt[n]{x_1x_2\ldots x_n}$.

Задача 1141

Доказать, что для произвольного треугольника с известными сторонами $a$, $b$, $c$, и периметром $P$ выполнено следующее неравенство: $\;\frac{P}{a} + \frac{P}{b} + \frac{P}{c} \geqslant 9$.

Задача 1142

Найти наибольшее значение выражения $ab + bc + ac + abc$, если $a + b + c = 12$ (при этом известно, что $a$, $b$ и $c$ - неотрицательные числа).

Задача 1143

Доказать, что если $a$, $b$, $c$ - положительные числа, то верно неравенство: $$\;\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} \geqslant \frac32.$$

Задача 1144

Пусть $a$, $b$, $c$ - положительные числа. Показать, что верно неравенство: $$\frac{a + b}{a^2 + b^2} + \frac{b + c}{b^2 + c^2} + \frac{a + c}{a^2 + c^2} \leqslant \frac1a + \frac1b + \frac1c.$$

Задача 1145

Доказать, что $\:\displaystyle 2013^{2015} \cdot 2015^{2013} < 2014^{2\cdot2014}$.

Задача 1146

Доказать, что $\:\displaystyle \lg (n + 1) > \frac{\lg1 + \lg 2 + \ldots + \lg n}{n}$.

Задача 1147

Доказать, что если $a + b = 1$, то имеет место неравенство $\:\displaystyle a^8 + b^8 > \tfrac{1}{128}$.

Задача 1148

Доказать, что при $|x| < 1$ и $|y| < 1$ верно следующее неравенство: $\:\displaystyle\left|\frac{x - y}{1 - xy}\right| < 1$.

Задача 1149

Даны положительные числа $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$. Известно, что $a_1 + a_2 + \ldots + a_n \leqslant \frac12$. Докажите, что $(1 + a_1)\cdot(1 + a_2)\cdot\ldots\cdot(1 + a_n) < 2$.