Все задачи.

Всего найдено задач: 2696.

Задача 1150

Доказать, что если для чисел $a$, $b$ и $c$ выполняются неравенства $|a - b| \geqslant |c|$, $|b - c| \geqslant |a|$, $|c - a| \geqslant |b|$, то какое-то одно из этих чисел равно сумме двух других.

Задача 1151

Доказать, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа $N$ лежит на отрезке $\left[\sqrt{N}, \:\frac{N + 1}{2}\right]$.

Задача 1299

108 экзаменующихся писали сочинение. Им было роздано 480 листов бумаги, причём каждая девушка получила на один лист больше каждого юноши, а все девушки получили столько же листов, сколько и все юноши. Сколько было девушек и сколько юношей?

Задача 1466

Доказать неравенство Бернулли: $(1 + a)^n \geqslant 1 + na$, где $a > -1$, $n \in \mathbb{N}$.

Задача 1887

Найти все натуральные значения х, при которых верно неравенство: а) $3.54 < x < 6.001$ б) $8.9 < x < 12$.

Задача 1152

Ваня задумал два положительных числа $x$ и $y$. Он записал числа $x + y$, $x - y$, $xy$ и $\frac{x}{y}$ и показал их Пете, но не сказал, какое число какой операцией получено. а) Допустим, Петя увидел числа 2, 3, 9, 18. Какие числа мог задумать Ваня? б) Доказать, что в подобной задаче Петя сможет однозначно восстановить $x$ и $y$, независимо от того, какие 4 числа он увидит.

Задача 1153

Решить неравенство: $\;\displaystyle x \geqslant \frac{9x + 15}{x + 11}$.

Задача 1154

Решить двойное неравенство: $\;\displaystyle 0 < r < \frac{r + 6}{r + 4}$.

Задача 1155

Решить неравенство: $\;\displaystyle -s - 6 > -\frac{39}{s - 4}$.

Задача 1300

Из города A в город B одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую треть пути со скоростью, меньшей скорости первого на 16 км/ч, а оставшиеся две трети пути - со скоростью 130 км/ч. В результате его усилий, он прибыл в B одновременно с первым автомобилистом. Найти скорости обоих автомобилистов.