Все задачи.

Всего найдено задач: 2696.

Задача 1128

Что больше: $e^e \cdot \pi^{\pi}$ или $e^{2\pi}$?

Задача 1129

Доказать, что неравенство $t + \frac1t \geqslant 2$ выполнено для любых $t > 0$. Найти, при каком (каких) $t$ достигается равенство.

Задача 1130

Доказать, что $x^{4} - 4x^{3} + 12x^{2} - 16x + 24 > 0$ для всех значений $x$.

Задача 1131

Доказать, что $\displaystyle x^{2} + 49 \geqslant 14x$.

Задача 1132

Доказать, что $\displaystyle 2m^{2} - 12m + 20 \geqslant 0$ (для всех значений $m$)

Задача 1133

Доказать, что неравенство $37a^{2} - 12a - 2ab + b^{2} + 2 > 0$ выполняется при всех действительных значениях $a$ и $b$.

Задача 1134

Доказать, что $a^2 + b^2 + 1 > ab + a + b$.

Задача 1135

Известно, что существует несколько разных средних, а именно следующие: \begin{multline*} \begin{aligned} &\text{1) среднее арифметическое, } m = \frac{a + b}{2} \qquad \left(m = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}\right) &\text{2) среднее геометрическое, } \;\;g = \sqrt{ab} \;\:\qquad\qquad \left(g = \sqrt[n]{x_1x_2\ldots x_n}\right) &\text{3) среднее квадратическое, } s = \sqrt{\tfrac{a^2 + b^2}{2}} \:\quad\qquad \left(s = \sqrt{\tfrac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n}}\right) &\text{4) среднее гармоническое, } \;\; h = \frac{2}{\frac1a + \frac1b} \qquad\qquad \left(h = \tfrac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} +\ldots + \frac{1}{x_n}}\right) \end{aligned} \end{multline*} Показать, что для любых положительных чисел верно {\large $\;s \geqslant m \geqslant g \geqslant h$}. То есть, доказать все три неравенства $\;\:\sqrt{\tfrac{a^2 + b^2}{2}} \:\geqslant\: \frac{a + b}{2} \:\geqslant\: \sqrt{ab} \:\geqslant\: \frac{2}{\frac1a + \frac1b}$.

Задача 1138

Автобус называется переполненным, если в нём более 50 пассажиров. По дороге едет колонна автобусов (среди которых есть переполненные). Что больше - процент переполненных автобусов или процент пассажиров, которые едут в переполненных автобусах?

Задача 1139

Пусть $a$ и $b$ - положительные числа. Показать, что верно неравенство: $$\frac{a + b}{a^2 + b^2} \leqslant \frac{1}{2a} + \frac{1}{2b}.$$