Задача 1135

Известно, что существует несколько разных средних, а именно следующие:
\begin{multline*}
\begin{aligned}
&\text{1) среднее арифметическое, } m = \frac{a + b}{2} \qquad \left(m = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}\right)

&\text{2) среднее геометрическое, } \;\;g = \sqrt{ab} \;\:\qquad\qquad \left(g = \sqrt[n]{x_1x_2\ldots x_n}\right)

&\text{3) среднее квадратическое, } s = \sqrt{\tfrac{a^2 + b^2}{2}} \:\quad\qquad \left(s = \sqrt{\tfrac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n}}\right)

&\text{4) среднее гармоническое, } \;\; h = \frac{2}{\frac1a + \frac1b} \qquad\qquad \left(h = \tfrac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} +\ldots + \frac{1}{x_n}}\right)
\end{aligned}
\end{multline*}
Показать, что для любых положительных чисел верно {\large $\;s \geqslant m \geqslant g \geqslant h$}.

То есть, доказать все три неравенства $\;\:\sqrt{\tfrac{a^2 + b^2}{2}} \:\geqslant\: \frac{a + b}{2} \:\geqslant\: \sqrt{ab} \:\geqslant\: \frac{2}{\frac1a + \frac1b}$.