Все задачи.

Всего найдено задач: 2696.

Задача 2649

Найдите площади треугольников (в клетках).

Задача 2652

Арбуз весил $10 кг$ и содержал $99$% воды. После того, как он немного подсох, содержание воды в нём уменьшилось до $98$%. Сколько он весит теперь?

Задача 2653

Каракатица живет в реке, вдоль берега которой протягивается вереница из $15$ больших камней. Каракатица за один раз может либо пропятиться на девять камней назад, либо течение отнесет ее на семь вперед. Она находится на третьем камне и хочет оказаться на $12$. Сможет ли она это сделать?

Задача 2654

Можно ли на плоскости расположить $2019$ отрезков так, чтобы каждый отрезок обоими концами упирался строго внутрь других отрезков?

Задача 2656

Ночью на городской площади собралось $111$ гангстеров. Они не смогли мирно договориться, и каждый из них выстрелил в ближайшего к нему гангстера. Все они выстрелили одновременно, все попарные расстояния между гангстерами различны. Докажите, что не все гангстеры будут убиты.

Задача 2657

Двенадцать стульев стоят в ряд. Иногда на один из свободных стульев садится человек. При этом ровно один из его соседей (если они были) встаёт и уходит. Какое наибольшее количество человек могут одновременно оказаться сидящими, если вначале все стулья были пустыми?

Задача 2658

а) По кругу записаны $64$ числа, каждое из которых равно среднему арифметическому соседних чисел. Докажите, что все числа равны. б) В каждой клетке шахматной доски записано число. Оказалось, что любое число равно среднему арифметическому чисел, записанных в соседних (по стороне) клетках. Докажите, что все числа равны.

Задача 2659

Докажите, что числа от $1$ до $16$ а) можно записать в строку, б) но нельзя записать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.

Задача 2660

По кругу стоят семь чисел - четыре единицы и три нуля. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают. Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?

Задача 2661

Четыре каракатицы сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту одна из них переползает в точку, симметричную ей относительно другой каракатицы. Докажите, что каракатицы не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.