Все задачи.

Всего найдено задач: 2696.

Задача 2442

Мальвина принесла из школы табличку, в которой в один ряд были выписаны все числа от $1$ до $50$. А Пьеро, когда ему стало скучно, сел и выписал под этим рядом все эти же числа в обратном порядке: $50, 49,..., 1$. а) Чему оказалась равна сумма всех чисел, написанных на листочке? б) А чему равняется сумма всех чисел от $1$ до $111$?

Задача 2443

После такой тренировки Пьеро решил посоревноваться в счете с Буратино. Соревнование заключается в том, что Пьеро считает сумму всех нечетных чисел от $1$ до $100$, а Буратино - четных. Мальвина решила им помочь и сказала, что сумма вообще всех чисел от $1$ до $100$ равняется $5050$. Какие числа тогда получатся у Пьеро и Буратино?

Задача 2444

В соревновании победил Пьеро и получил в качестве выигрыша огромную кучу наклеек. Он решил красиво разложить их на столе. Всего Буратино отдал ему сколько-то комплектов наклеек, в каждом из которых было по $10$ наклеек и еще три отдельные наклейки. Сколько должно было быть наборов, чтобы Пьеро смог все наклейки разложить в виде красивой квадратной таблички? Может ли вообще квадратная таблица содержать внутри себя такое число наклеек, чтобы последняя цифра числа наклеек была тройкой?

Задача 2445

Буратино же свои оставшиеся наклейки решил разложить прямоугольником необычной формы: он хочет, чтобы в строчку наклеек было на одну больше, чем в стол-бик. Давайте поможем ему и найдем, на что вообще может закончиться произведение двух чисел, отличающихся на $1$?

Задача 2446

Мальвина замучила Буратино математикой! Пьеро решил вступиться за друга, и они договорились с Мальвиной так: Буратино может перестать делать уроки, когда Пьеро найдет такое число $N$, что сумма всех чисел от $1$ до $N$ закончится на цифру $7$. Помогите Пьеро помочь Буратино!

Задача 2448

Трём мудрецам показали $9$ карт: шестерку, семерку, восьмерку, девятку, десятку, валета, даму, короля и туза (карты перечислены по возрастанию их достоинства). После этого карты перемешали и каждому раздали по три карты. Каждый мудрец видит только свои карты. Первый сказал: «Моя старшая карта - валет». Тогда второй ответил: «Я знаю, какие карты у каждого из вас». У кого из мудрецов был туз?

Задача 2449

Император снова мучает Алика и Валю. Он дал им пять минут поговорить, а потом посадил каждого из них в отдельную комнату. Потом он отправил двух стражников, каждый из которых зашёл в комнату и подбросил в ней монетку, которая выпала орлом или решкой. После этого Алик и Валя должны каждый сказать «Орел» или «Решка». И если хоть один угадает, что выпало в комнате другого человека, то их обоих отпустят на свободу. Как им действовать чтобы точно спастись?

Задача 2450

Когда-то между $57$ городами империи была налажена прекрасная связь по специальным проводам. В центре каждого города стояла вышка, и вышка каждого города была соединена отдельным проводом с каждой вышкой других городов. Однако, за долгие столетия эта связь нарушилась - часть проводов попорчены диверсантами. При этом через другие города все ещё возможно передать сообщение из любого города в любой! а) Какое максимальное число связей могло выйти из строя так, чтобы возможность передать сигнал из любого города в любой точно сохранилась, вне зависимости от того, какие именно провода вышли из строя? б) А если вы - предводитель диверсантов и сами решаете какие провода испортить?

Задача 2451

Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Алёше Поповичу за верную службу дали $6$ монет: $3$ золотых и $3$ серебряных. Каждому досталось по две монеты. Илья Муромец не знает, какие монеты достались Добрыне, а какие Алёше, но знает, какие монеты достались ему самому. Придумайте вопрос, на который Илья Муромец честно ответит «да», «нет» или «не знаю», и по ответу на который Вы сможете понять, какие монеты ему достались.

Задача 2452

Император собрал $10$ мудрецов и объявил им правила ужасной казни. «У вас есть пять минут поговорить, после чего я выстрою вас в линию, все повернутся на восток, и получится, что первый будет видеть всех остальных, второй - всех, кроме первого и т.д. После этого я надену на каждого из вас по колпаку - белому или черному, причем вы не будете видеть, какого цвета колпак на вас! После этого все, начиная с первого, должны будут сказать, какого цвета колпак у них на голове. Всех, кто правильно назовет, отпущу, а неугадавших казню» Как мудрецам договориться, чтобы максимальное число мудрецов выжило?