Все задачи.

Всего найдено задач: 2696.

Задача 687

Два различных вещественных числа $x$ и $y$ таковы, что $x^{2} + 2020y = y^{2} + 2020x$. Найти сумму чисел $x$ и $y$.

Задача 688

Найти $x^{3} + y^{3}$, если известно, что $x + y = 5\,$ и $\,x + y + x^{2}y + xy^{2} = 24$.

Задача 689

Вычислить значение выражения $\sqrt{28 - 6\sqrt{3}} - \sqrt{31 + 12\sqrt{3}}$.

Задача 690

Найти среди указанных равенств тождество: a) $\displaystyle a^{4} \cdot a^{5} = a^{20}$; \hfill b) $\displaystyle a^{16} : a^{2} = a^{8};\quad\;$ c) $\displaystyle a^{6} b^{6} = \left(ab\right)^{12}$; \hfill d) $\displaystyle \left(a^{3}\right)^{3} \cdot a^{3} = a^{12}$.

Задача 691

(Тождество Диофанта) Показать, что $(a^{2} + b^{2})(c^{2} + d^{2}) = (ac + bd)^{2} + (ad - bc)^{2}$.

Задача 692

Указать многочлен, который тождественно равен многочлену (раскрыть скобки) $$(12xy - 2y^{2} + 6x^{2}) - (-3x^{2} - 2y^{2} + 8xy).$$ a) $3x^{2} + 20xy - 4y^{2}$; \hfill b) $9x^{2} + 4xy$; \hfill c) $9x^{2} + 20xy$; \hfill d) $3x^{2} + 4xy - 4y^{2}$.

Задача 693

Чему равно значение выражения $3a^{2} - 12a - 4$, если $a^{2} - 4a + 2 = 6$?

Задача 694

Найти два таких числа, что их сумма втрое больше их разности и вдвое меньше их произведения.

Задача 1837

В каждой клетке квадратной таблицы размером $25 \times 25$ записано одно из чисел $1, 2, 3, \dots, 25$. При этом, во-первых, в клетках, симметричных относительно главной диагонали, записаны равные числа, и во-вторых, ни в какой строке и ни в каком столбце нет двух равных чисел. Докажите, что числа на главной диагонали попарно различны

Задача 695

Творческая задача: нетрудно придумать случай, когда у квадратного уравнения два решения, а если постараться, то можно придумать случай, когда решение одно: это уравнение $x^2 = 0$. Придумай пример квадратного уравнения (в уравнении обязательно должен быть $x^2$), у которого нет никаких решений.