Все задачи.

Всего найдено задач: 2696.

Задача 1882

Найдите среднюю скорость движения автобуса, двигавшегося в течении $1.2$ ч со скоростью $60$ км\ч и $2.8$ ч со скоростью $80$ км\ч.

Задача 943

В казино имеется рулетка, которая с вероятностью по $\frac{1}{2}$ выпадает на чёрное и на красное. Игрок, поставивший сумму $n$ и угадавший цвет, получает обратно сумму $2n$ (а если не угадывает цвет, то теряет всю сумму). Вася играет по следующей схеме: сначала он ставит доллар. Если он выигрывает, то покидает казино, а если проигрывает, то удваивает ставку и ставит два доллара. Если выигрывает, то покидает казино, а если проигрывает, то снова удваивает ставку и ставит четыре доллара, и так далее, пока не выиграет в первый раз или у него не хватит денег на новую удвоенную ставку. У Васи до входа в казино имеется 1050 долларов. a) Какова вероятность того, что Вася покинет казино после выигрыша? b) Каков ожидаемый выигрыш (математическое ожидание) Васи?

Задача 944

В жюри из трёх человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью $p$, а третий для вынесения решения кидает симметричную монетку (окончательное решение выносится большинством голосов). Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью $p$. Какое из этих жюри чаще выносит справедливые решения?

Задача 945

Пятеро человек купили билеты в кино - 5 мест подряд в одном ряду. Среди этих 5 человек есть Алиса и Александр, которые хотели бы сидеть рядом, и Борис и Белла, которые хотели бы того же. Хильде же всё равно где сидеть. Из 5 билетов, полученных на кассе, каждый случайным образом вытащил один. Какова вероятность того, что: a) Никому не нужно будет меняться билетами между собой (все и так довольны)? b) Одному или нескольким людям надо будет поменяться билетами, так как ни в паре А, ни в паре Б люди не сидят рядом друг с другом? c) Одна пара довольна своими билетами, а другая пара - нет?

Задача 946

В коробке 123 чёрных шара и 321 белый шар. Наугад извлекается пара шаров. Если оба шара одного цвета, то вместо пары в коробку кладётся белый шар. Если же извлечённая пара шаров разного цвета, то вместо неё кладётся чёрный шар. Так повторяется до тех пор, пока в корзине не останется один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет чёрным?

Задача 947

В классе 30 учеников. Показать, что вероятность того, что у каких-нибудь двух учеников совпадают дни рождения, составляет больше $\frac{1}{2}$. (предполагаем, что вероятность рождения в определённый день равна $\frac{1}{365}$). \textbf{Комментарий:} в этой задаче разрешено использовать калькулятор.

Задача 955

Условие задачи следующее: в тюрьме находится 100 заключенных, каждый из которых имеет личный номер от 1 до 100. Тюремщик решает дать заключенным шанс на освобождение и предлагает пройти придуманное им испытание. Он идёт в секретную комнату и подготавливает 100 коробок с крышками. На каждую коробку он наносит числа с нумерацией от 1 до 100. Затем он приносит 100 бумажных табличек, по числу заключенных, и нумерует эти таблички от 1 до 100. После этого он случайно перемешивает 100 табличек и помещает в каждую коробку по одной табличке, закрывая крышку. Заключенные не видят, как тюремщик выполняет все эти действия. Испытание устроено так: тюремщик отводит каждого заключённого по очереди в комнату с коробками и говорит, что он должен найти коробку, в которой будет находиться табличка с его номером. Заключенные пытаются найти табличку со своим номером, открывая коробки. Каждому разрешается открыть до 50-ти коробок; если КАЖДЫЙ из заключенных найдёт свой номер, то ВСЕХ заключенных отпустят, если же ХОТЯ БЫ ОДИН из них не найдёт свой номер за 50 попыток, то ВСЕ заключенные останутся в тюрьме. Менять местами таблички, оставлять подсказки после начала испытания нельзя, но заключенные перед началом испытания могут собраться вместе и обсудить свою стратегию. \begin{itemize} \item [a)] Какова примерно вероятность успеха, если у заключенных не будет никакой стратегии (все открывают случайные коробки)? \item [b)] Придумать стратегию, которая хоть немного повышает шансы заключенных на успех. \item [c)] Есть СУЩЕСТВЕННО более эффективная стратегия c вероятностью успеха, приблизительно равной \textbf{$0{,}3$ (успех в 30\% случаев)}. Задача - попытаться придумать эту стратегию. \end{itemize} Для вычислений в этой задаче можно (и нужно) использовать \textcolor{CornflowerBlue}{\href{https://www.wolframalpha.com}{\textbf{WolframAlpha}}}

Задача 948

В произвольном выпуклом шестиугольнике независимо друг от друга выбраны две различные случайные диагонали. Найти вероятность того, что эти диагонали пересекаются внутри шестиугольника (внутри - значит не в вершине)

Задача 949

Чтобы сбить самолёт, достаточно одного попадания. По самолёту было сделано три выстрела - с вероятностями попадания $0{,}1$, $0{,}2$ и $0{,}4$ соответственно. Какова вероятность того, что самолёт был сбит?

Задача 950

Двое договорились встретиться в фиксированном месте, но не успели договориться о времени. В результате известно, что каждый из них придёт в промежутке времени от 12:00 до 13:00, но из-за того, что оба не очень терпеливы, известно, что каждый будет ждать только 10 минут - то есть, если они придут в 12:34 и 12:43 они встретятся, а если в 12:30 и 12:45 - нет. Какова вероятность того, что встреча всё же состоится?